Bỏ qua nội dung

Ông lão đánh cá và con cá vàng, và định lý Banach-Tarsky

Tháng Tư 26, 2010

Chuyện ông lão đánh cá và con cá vàng hầu như ai cũng biết, nó đại loại tóm tắt như sau: Ông lão đánh cá đánh được một chú cá vàng. Cá vàng, cũng như trong một số lớn các truyện cổ tích khác, lại hóa ra một vị thần oai phong, nhiều phép thuật (còn tại sao nó lại bị ông lão bắt được thi bạn đừng hỏi, nhậy cảm). Cá ta hứa là nếu ông lão thả nó ra, nó sẽ tặng lại (trong ngôn ngữ hiện đại là “lại quả”) ông rất nhiều thứ, bất động sản, tiên bạc, xe ngựa, vv. Bây giờ thời buổi khủng hoảng, giá cả lên lên xuống xuống, thôi ta cứ qui hết ra vàng cho tiện. Nôm na mà nói, cá hứa sẽ tặng ông lão một cục vàng to, mua được cả tấn cá khác. Ông lão, hiển nhiên, sẽ đồng ý như tất cả những bạn đánh cá khác, hay đa số đàn ông nói chung.

Chuyện chẳng kết thúc ở đây, vì ông lão, cũng như đa số đàn ông nói chung, có vợ ! Vợ ông lão là bà lão. Bà lão nhìn ngay ra vấn đề. Với một cá vàng oai phong như thế thì một khối vàng là quá ít, bà muốn hai khối cơ, tức là gấp đôi.

Một khi bà lão đã muốn, thì ông lão chỉ còn cách cung kính vâng mệnh, đi ra bờ biển gọi cá vàng. Cá vàng hiện lên, hơi cau có môt chút, biển nổi sóng lăn tăn, nhưng cuối cùng thi nó cũng đồng ý với đề nghị của ông lão. Dù sao cũng đàn ông với nhau. Ông lão vui như hội, chạy về khoe với bà lão.

Chuyện chẳng kết thúc ở đây, vì bà lão, cũng như nhiều bà lão khác, sẽ muốn gấp đôi một lần nữa. Ông lão lại đi ra biển. Cá vàng lại hiện lên, dĩ nhiên cũng cau có gấp đôi. Sóng biển dâng trào, dân surfing bỏ chạy tán loạn. Miễn cưỡng lắm, nó cũng nghe lời ông lão.

Chuyện sắp kết thúc, như bạn đã biết, bà lão sẽ muốn gấp đôi một lần nữa. Ông lão lại đi ra biển.
Cá vàng mặt mũi vô cùng khó coi, như thể sắp bị đem ra làm shushi. Trời đen kịt.
Bão tố nổi lên. Tsunami tràn vào cuốn hết đi mọi thứ. Cuối cùng trên bãi cát còn trơ lại ông lão và bà lão. Rất buồn.
Chuyện ông lão đánh cá kết thúc ở đây.

Theo nghị quyết mới ra ngày mùng một tháng tư năm 2010, để nâng cao chất lượng học đi đôi với hành, sau mỗi truyện ngụ ngôn, học sinh
phổ thông cần tìm ra một bài học kinh nghiệm và một câu hỏi để đào sâu suy nghĩ. Bài học kinh nghiệm thì quá rõ ràng, ai cũng thấy, đó là:

“Không được nghe lời bà lão quá hai lần trong một ngày !!!!”

Câu hỏi thì nhiều. (Chẳng hạn: “Làm thế nào để bắt được cá vàng ?” hay “Giá ông lão có vốn mở
luôn resort từ hồi đó thì sao nhỉ ?”) Nhưng câu hỏi mấu chốt hơn, và có tính khoa học hơn cả, có lẽ là:

“Làm thế nào để biến một cục vàng thành hai ? “

Nghe ngớ ngẩn nhỉ ! Dĩ nhiên phải kinh doanh đầu tư làm cho vốn liếng sinh sôi nảy nở, chứ còn làm thế nào ?

Ha ha, toán học xem ra cũng được việc ! Cách đây gần cả trăm năm, hai nhà toán học (vô cùng nổi tiếng) người Balan là Banach
và Tarski đã tuyên bố xanh rờn là chẳng cần kinh doanh đầu tư gì hết, các ông ấy có cách cắt một cục vàng ra thành mấy mảnh, rồi gép lại thành hai cục to, mỗi cục to bằng cục ban đầu !!

BÔ…Ố..CC PHHHEEE…ÉT !!! Bà lão (và cả ông lão) hét tướng. Hiển nhiên, chuyện này còn khó nghe hơn là chuyện một nhà tài chính từ Nigeria tự dưng muốn gửi cho ta 20 triệu đôla (qua email), vì ta là một người trung thực và tốt bụng mà ông ấy vô cùng ngưỡng mộ.

Nhưng định lý Banach-Tarsky là có thật !! Nó có thể phát biểu nôm na như sau:

Gỉả sử S là hình cầu (đặc) cò bán kính 1. Tồn tại hai phẻp quay ab, và một cách cắt S thành bốn phần
A_1, A_2, A_3, A_4, sao cho A_1 \cup a A_2 = S vả A_3 \cup b A_4= S.

Đại ý là bạn có thể cắt S thành bốn phần, lấy hai phần, xoay xoay một lúc, và, hốp, gép lại thành một S mới. Lấy hai phần còn lại, xoay xoay một lúc, và, hốp, gép lại thành một S
mới khác. Anh David Copperfield trông thấy thì phải gọi bằng cụ.

Điều đáng tiếc ở đây là các tập hợp A_i là không đo được. Nôm na mà nói, không thể chế tạo chúng bằng dao kéo bình thường, hoặc ngay cả tia lade. Dụng cụ được
Banach va Tarsky dùng là một tiên đề gây nhiều tranh cãi: axiom of choice (AoC; Tiên đề “Chọn”). Tiên đề này được phát biểu như sau:

“Nếu có một bộ các tập hợp không rỗng, thì có thể chọn ra từ mỗi tập hợp đúng một phần tử. “

Tiên đề này nghe qua thì hiển nhiên là đúng, và không ai tranh căi tính đúng đắn của nó khi số tập hợp trong bộ là hữu hạn hay đếm được. Vấn đề ở chỗ số tập hợp có thể là không đếm được.

Định ly B-T thường được dùng như một ví dụ để tranh cãi về tính đúng đắn của AoC. Trong nhiều sách giáo khoa, định lý này được gọi la nghịch lý B-T.
Cũng may, trong các ngành toán có tính ứng dụng, AoC không có vai trò cốt yếu. Cũng bởi vậy, giá vàng vẫn tăng.

Vời AoC trong tay, chứng minh định lý B-T không khó lắm, nhưng nó phối hợp các khái niệm và ý tưởng từ đại số và hình học một cách rất đẹp.
Các ý chính có thể tóm tắt như sau:

(0) Ta bắt đầu bằng một nhận xét đơn giản. Tập hợp: T;= \{ 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, ...\} gồm các dăy hữu hạn chứa 0 và 1 đồng dạng với tập con
T_1:=  \{1, 11, 100, 101, \} gồm các dãy bắt đầ bằng một. Ta có thể có một song ánh từ T_1 vào T bằng cách map dăy
1x_1x_2 ... vào dãy x_1x_2..... Tương tự vời T_0 gồm các dãy bắt đầu bằng 0.

Ví dụ này rất dễ, và thật ra không liên quan trực tiếp đến cách chứng minh.
Nhưng nó đã hơi gợi đến một hiện tượng giống như định lý BT, tức là tập hợp T (theo một nghĩa nào đó) có thể chia thành hai tập con đổng dạng vời nỏ.

(1) Bây giờ ta nghiên cứu một tập hợp phức tạp hơn: Nhóm tụ do G được gây dựng bởi hai phần tử, ab.
Phần tử của nhóm này gồm các dăy x_1\dots x_n, trong đó x_i có thể lấy giá trị a,b, a^{-1}b^{-1} .
Tích của hai phần tử x_1...x_ny_1..y_mx_1...x_n y_1...y_m (tất nhiên ta phải áp dụng các luật tối giản hiển nhiên như a a^{-1} = b b^{-1} = e ).

Ví dụ, các phần tử có độ dài 2 là aa, ab, ab^{-1},  a^{-1} a^{-1} , a^{-1} b, a^{-1} b^{-1}, bb, ba, ba^{-1} , b^{-1} a, b^{-1} a^{-1} , b^{-1} b^{-1} . Bây giờ ta
có thể chia G thà nh bốn nhóm:
G_1, G_2, G_3G_4, tùy theo theo phần tử đầu tiên trong dãy là a, a^{-1}, b hay b^{-1}.

Bạn có thể dễ dàng chứng minh: G= G_1 \cup a G_2G= G_3 \cup b G_4 .

(2) Trong bước này, ta cần một tính chất quan trọng của không gian 3 chiều, đó là nhóm các phép quay trong không gian này chứa một nhóm con tự do G được gây dựng bởi hai phần tử ( bạn có thể tự tìm ví dụ cho hai phần tử–ma trận– ab).
Tách G= G_1 \cup G_2 \cup G_3 \cup G_4 như trên.

(3) Bây giờ bạn cần một ứng dụng của tiên đề “Chọn”: Trước hết, ta xem G hoạt động trên S ra sao. Nhóm này sẽ tách S thành các quỹ đạo riêng biệt (disjoint orbits)
(một quỹ đạo (orbit) là một tập hợp có dạng \{g x| g \in G \}, trong đó x là một điểm cố định trên S).
Tiên đề “Chọn” cho phép ta chọn từ mỗi quỹ đạo ra một điểm.

(4) Từ mỗi điểm y được chọn ra, bạn có thể chia quỹ đạo của y làm 4 phần, theo các tập con G_1, G_2, G_3, G_4. Ví dụ, phần thứ nhất gồm các điểm gy với g \in G_1…vv. Với i=1,2,3,4, định nghĩa A_i là union của phần thứ i của các quỹ đạo. Từ bước (1) ta biết G= G_1 \cup a G_2G= G_3 \cup b G_4 . Từ đây
bạn có thể suy ngay ra rằng: S =  A_1 \cup a A_2S= A_3 \cup b A_4. Đây chính là kết luận của định lý B-T.

(Tôi lược bỏ một số chi tiết mang tính kỹ thuật nhưng không quan trọng, bạn đọc có thể tự tìm ra các chi tiết này dưới dạng bài tập. Ngoài ra bạn có thể tự đặt một số câu hỏi rất thú vị về định lý này. )

Bạn có thể đọc thêm về AoC ở đây
.

About these ads

From → Khác

23 phản hồi
  1. thichhoctoan permalink

    Xin nhập tâm cái bài học kinh nghiệm.

  2. KHG permalink

    Bài này hay vô cùng. Tôi chưa đọc một bài nào về Toán mà vui nhộn và dễ hiểu, có ích và thú vị như vậy. TERRIFIC!

  3. Việt permalink

    Bác Văn kể chuyện hóm không chịu được. abcdef
    Quyết liệt đề nghị bác kể nhiều chuyện hơn nữa .

  4. Bài viết rất duyên. Cảm ơn bác.

    Nhân đây cũng giới thiệu với mọi người quyển “The Pea and the Sun” của Leonard Wapner, nói về định lý BT, một ít lịch sử và lan man triết lý xung quanh định lý này. Thậm chí có cả một chương về Tangram của bác Sơn Đàm.

  5. Leobio permalink

    Bác Văn vẫn chưa đến thời kỳ tiền mãn teen. Văn bác Teen không chịu được…

  6. Có một bài toán gần gần với định lý BT, là bài toán “Squaring the Circle”, cũng rất thú vị. (Làm thế nào để cắt hình tròn thành vài mảnh và gép lại thành hình vuông có diện tích tương đương.)

    Bạn @leobio
    :

    Quả thật không biết văn chương các bạn teen bây giờ thế nào.
    Nhưng mà nếu viết được, bất cứ kiểu gì, sao cho các bạn ấy thích và gần gũi toán học hơn, thì là một điều tuyệt vời. Bạn có sáng kiến gì không ? (Nhưng xin bạn đừng dùng thuật ngữ y học nữa, vì tôi vốn sợ bác sĩ.)

  7. Leobio permalink

    Chào bác Văn!
    Chỉ được như chùa THT và chùa bác là hân hạnh lắm rồi ạ.
    Nhưng mà dạy hay quá cũng chưa chắc đã hay:
    (Học sinh thầy Văn đến văn phòng thầy phàn nàn về điểm thi học kỳ)
    Học sinh: thầy ạ, em cảm thấy điểm em thế này chẳng công bằng chút nào?
    Thầy Văn: Sao không công bằng?
    Học sinh: Thầy kiểm tra định lý Banach-Tarsky. Em đã trình bày rất rõ về con cá vàng và vợ chồng ông đánh cá. Em còn nhớ cả chi tiết ông ấy muốn có resort bên bờ biển…
    Thầy Văn: Trời! Đó chỉ là ví dụ râu ria cho vui. Tôi muốn kiểm tra em về công thức & cách chứng minh định lý
    Học sinh: Ạ!…suy nghĩ…thôi thế thì thầy cho em thi lại. Lần này em biết thầy sẽ kiểm tra gì rồi. Em sẽ học công thức & cách chứng minh ạ.

    (simulated from “A serious man” by Coen brothers)

  8. Aries permalink

    Giá mà giáo trình nó cũng viết hóm thế này thì có phải vui không ;)

  9. @leobio

    Hì hì, học trò mà trình bày hết phần Ông lão đánh cá, cộng thêm một vài ứng dụng cụ thể của bài học kinh nghiệm, thì thầy Văn
    cho mười cả hai tay. Nhưng mà phần này khó hơn
    định lý B-T nhiều….

    Hòa thượng THT võ công cao siêu, đọc qua một cái, là lĩnh hội ngay tầng cao nhất, thật là tri kỷ :=))

  10. KHG permalink

    Võ công của tôi, luyện thêm 10 năm nữa, cũng chưa bằng hòa thượng THT, nhưng ngay bây giờ cũng nhập tâm bài học kinh nghiêm rồi. Đầy là kinh của anh vuhavan đã đạt đến mức thợng thừa và trở nên đơn giản và “trong sáng” :-)

  11. LVH permalink

    “Không được nghe lời bà lão quá hai lần trong một ngày !!!!” .
    haha, bai hoc nay van phai hoc nua hoc mai nhu cu Le Nin ay nhi!

  12. titoe permalink

    Đọc blog của các bác Hà Văn, hòa thượng Thích Học Toán, bác Thanh Sơn, thấy các bác thật humble.

    Hình như võ công càng cao lại càng humble. Thật đáng phục!

  13. KHG permalink

    Có thể các bác này humble từ bé đó, vậy mới càng đáng phục :-) Học càng cao có thể sẽ thấy bầu trời càng cao hơn, nên càng humble hơn.

  14. Nkd permalink

    Em thấy suốt cả cuộc đời mà đi đến đâu cũng là nhất lớp, nhất trường thế chán chết. Các bác phải cố chui vào lớp nào đấy hội họa, âm nhạc, thơ ca… mà mình không có năng khiếu để nếm trải cảm giác của kẻ bét lớp xem sao.

    Các bác cũng nên cảm thấy may mắn chứ sinh ra sớm độ 100 năm, đi học toàn thi văn chương thi phú. Làm gì có toán mà giải. Khéo lại thành ông nông dân. :-)

  15. Bạn @Nkd

    Vẫn chui, và về bét thường xuyên :=))

    Ngày xưa các bác
    đi thi văn chương sướng chứ nhỉ, đỗ cái làm ngay (ít nhất) quan huyện.

    Cụ Ngô Tất Tố viết một quyển sách rất vui về chuyện thi cử này, là quyển “Lều Chõng”.

  16. Pisces permalink

    Haha, chị Nkd có 1 ý thích rất hay, đó là luôn muốn kéo mọi thứ về điểm cân bằng. Nhưng mà thường chỉ kéo dc cái cao xuống thấp hay bớt đi cái nhiều thôi. Làm cách nào để kéo dc thấp lên cao hoặc thêm vào cái ít nhỉ? :)

  17. Nkd permalink

    Cái này là nói đùa.

    Nhưng chị nghiên cứu về Inequality mà.

  18. Cảm ơn các bài viết rất hay của anh ạ. Em cũng có vài bình luận cho vui:
    Toán học chia được vàng thành 2 phần bằng nhau như thế là vì đã công nhận thế giới vật chật (ở đây cụ thể là vàng) là R^3 nghĩa là cục vàng được tạo từ continum các điểm như nhau. Chỉ cần vàng chia thành đếm được các phần như nhau thôi, các phần như nhau này gọi là các “điểm”, thì cục vàng to cũng như cục vàng nhỏ vì đều là hợp đếm được các “điểm” này (cứ “điểm” này ứng với “điểm” kia thì cục vàng to ứng với cục vàng nhỏ). Thế giới vật chất chỉ là hữu hạn hay vô hạn làm sao mà biết được ạ?
    Tiên đề chọn cũng chỉ được dùng trong Toán học tổng quát như Giải tích hàm hay Đại số giao hoán. Khi những ngành khác áp dụng 2 ngành này thì các không gian đều là cụ thể (ví dụ khi các ngành khác áp dụng Giải tích hàm thì các không gian được áp dụng thường là khả li hoặc là một không gian rất cụ thể nên các định lý của Giải tích hàm vẫn đúng mà không cần tiên đề chọn). Do đó tiên đề chọn mang lại thuận tiện cho Toán lý thuyết mà nó đúng hay sai cũng không ảnh hưởng gì nhiều đến Toán lý thuyết trừ những ngành mang tính tổng quát.

  19. Pisces permalink

    Em có 1 thắc mắc, có phải thế giới vật chất có khả năng được chia nhỏ vô hạn, tức là các khám phá về thế giới vi mô ko bao giờ đi đến tận cùng dc, nhưng vẫn đảm bảo sự tồn tại của vật chất vĩ mô ko? Hình dung 1 cách thô sơ như 1 khái niệm trong Toán học, tổng của vô hạn các số trong 1 chuỗi hội tụ lại là 1 số hữu hạn (xác định)?

    Nếu đúng như vậy, thì phải chăng có thể hình dung cục vàng (hoặc vật rắn bất kỳ) như tổng của 1 chuỗi vô hạn và hội tụ của các hạt vi mô, do vậy ko thể chia 1 cục vàng thành 2 cục mà mỗi cục vẫn bằng ban đầu dc? :) Ở đây nói về khối lượng thôi, ko phải về thể tích, vì ta có thể có cách nào đó làm giãn nở 2 cục vàng nhỏ cho nó bằng cục vàng ban đầu. :))

    Em nghĩ 1 cách thô sơ cho vui vậy thôi, chứ ko chắc đúng cả về Toán học lẫn Vật lý. :)) Ko biết anh Sơn có vào đây ko? :)

    • vuhavan permalink

      Neu mot chuoi vo han hoi tu co cac thanh phan deu la duong, thi khi ban chia thanh hai phan no se thanh hai chuoi hoi tu co tong be hon (cong lai thanh tong ban dau). Con neu dinh cac so am vao, thi tinh huong rat lang nhang, cung nhu ong lao dinh them ba lao.

      Con cac hat be va rat be thi chac phai hoi bac Son roi.

  20. Pisces permalink

    Vâng, em quên ko viết rõ cái chuyện số dương (tại vì trong đầu cứ nghĩ mặc định là số dương. :D)
    Hy vọng anh Sơn có vào đây. :D

  21. Theo định nghĩa toán học thì tổng chuỗi là tổng của n số hạng đầu tiên rồi lấy giới hạn khi n \to\infty. Chuỗi số tách ra làm 2 dãy: dãy gồm các số hạng dương và dãy gồm các số hạng âm. Một trong tổng của 2 chuỗi này mà hội tụ thì chuỗi số ban đầu cũng như chuỗi số dương hoặc chuỗi số âm. Thứ tự của chuỗi ban đầu chỉ quan trọng khi tổng của 2 chuỗi này đều là vô cùng. Nếu thay đổi thứ tự các số hạng trong dãy mà cho nhiều số hạng dương lên trước để tổng đủ lớn rồi mới cho 1 số hạng âm vào, cứ làm như thế thì sẽ ra chuỗi có tổng là dương vô cùng. Làm ngược lại được được chuỗi có tổng là âm vô cùng. Muốn thay đổi thứ tự để chuỗi mới có tổng là A thì phương pháp tối ưu là: đầu tiên cứ thêm số hạng dương vào tới khi nào tổng bắt đầu vừa lớn hơn A thì dừng lại và bổ sung số hạng âm vào để được tổng bắt đầu vừa bé hơn A thì dừng lại, ….. làm như thế liên tiếp.
    Con người tư duy vô hạn từ hữu hạn nên theo em thì có thể không có cái gì là vô hạn.

  22. YenNhi permalink

    GS là con của nhà văn có khác! Kể chuyện toán mà hóm hỉnh ghê.

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 175 other followers

%d bloggers like this: