Few weeks ago, I gave a survey talk at IAS on random matrices. The topic is the Universality Phenomenon (click on the link to see an informal discussion by my coauthor T. Tao) which  has been one of the main foci  of my research in the last 10 years.

We focus on random matrices with iid entries. The idea is that limiting distributions concerning eigenvalues should not depend very much on the distribution of the entries (in other words, these distributions are universal).   This contains, as a subtopic, the  universality  problem coming from the math physics literature, in which universality usually refers to the universality of the correlation functions.

A basic example of universality results is the Central Limit Theorem, which asserts that the limiting distribution of  the sum  $x_1+...+x_n$, normalized by $\sqrt n$,   is gaussian, where $x_i$ are idd random variables with mean 0 and variance 1. It does not matter if we take $x_i$ to be gaussian itself, or to be, say, the random $\pm 1$ variable.  The hardness of universality problems  in random matrix theory lies  in the fact that most spectral parameters are defined  implicitly   in term of the entries, in contrast to the central limit theorem, where the function is very explicit (simply the normalized sum of the atom variables).  For example, it is easy to define the middle eigenvalue of a large hermitian matrix, but there is no reasonable way to write down this quantity in an explicit form in term of the entries. Without such a  form, there is simply nothing to compute with.  However, we believe (and can prove under certain conditions) that the limiting distribution of this middle eigenvalue  (after a proper normalization) is gaussian, regardless the nature of the distribution of the entries.

The talk (see this link) surveys recent developments in understanding universality, with many open questions, some of which are extremely simple to state.  Here is an example. Let $M_n$ be a random (non-symmetric) matrix of size $n$ whose entries are random $\pm 1$ with probability $1/2$.  Prove that with probability tending to one,  as $n$ tends to infinity, the matrix has at least 2 real eigenvalues.

From → Không phân loại

14 phản hồi
1. Thưa GS là E Chưa Hiểu…

This result possibly can help advance in adaptive learning because there is an empty matrix being filled progressively up as the learner “bumps” around and perceives different rewards while doing different policies. (eg. in Watson’s Q-Learning). That the matrix is not necessarily symmetrical is a relief because in time driven processes, there is dissymmetry of action (e.g you cannot “undo” a bad deed).

• It sounds interesting any Duc, I know that there are use of random matrices in economics, but not precisely how.

2. Bó tay, toàn tiếng ANH, sao các Thầy lại 0 chịu nói Tiếng Việt nhỉ ?

Họ chưa dùng nhiều, anh Văn ạ, vì chưa có sự kết hợp đúng đắn của KT vĩ mô và toán ngẫu nhiên (và trước đây chưa có máy tính đủ mạnh). Em Hải, tại vì bài chủ nói bằng tiếng Anh. Toán học không biên giới không ngôn ngữ không chủ thuyết. Nhiều vần đề chuyên đề được nói xúc tích ngắn gọn nhất bằng thứ tiếng này khi hai người từ hai chủ đề không có từ vựng chung gặp nhau phải dùng.

3. @ A Phạm Hi Đức: A có gia đình chưa? Hiện A công tác ở đâu ạ?…TOÁN HỌC 0 BIẾT GIỚI…

4. Xác suất tiệm cận tới 1 như thế nào ta có biết không?

5. Bác Sơn hỏi problem nào ?

6. Problem cuối cùng trong bài ấy, let P_n be the probability that M_n has at least two real eigenvalues, what is the asymptotic behavior of 1-P_n as n->infinity?

7. Bac Son: We don’t know. In the Bernoulli case, we don’t know if it tends to 1 at all.

In the Gaussian case, it should be exponential. I think it has been computed precisely, if you care I can check.

Chào thầy Văn,

Em tên Hải. Em là sinh viên đang học Toán ở Mỹ. Em mới chỉ xong năm 2 thôi nhưng em lại cảm thấy khá thích và tò mò về mấy vấn đề liên quan đến random matrices. Kiến thức hiện giờ của em chắc chắn là chưa đủ lực nhưng em cũng mong thầy giới thiệu articles hoặc tài liệu để em có thể nghiền ngẫm từ từ. Một thầy ở trường em cũng đang làm về random matrices nên có gì em cũng có thể hỏi thầy ấy ạ.

Em cám ơn thầy!

• sure.