Skip to content

Nhật ký Yale: Số nguyên tố

Tháng Mười 11, 2013

Hôm nay đẹp trời. Khoa toán tổ chức coll. mời bác Zhang đến nói chuyện về công trình về số khoảng cách giữa các số nguyên tố của bác, mà tôi đã giới thiệu vài tháng trước ở đây. 

Dân chúng tò mò đi xem khá đông, chủ yếu là sinh viên, vì bác Zhang đang hot.  Tôi khoái bác này, vì CV của bác rất đa dạng, gồm cả một giai đoạn công tác ở Subway. Tình yêu toán học của bác thật đáng khâm phục.

Bạn A. K., một thành viên trẻ của khoa (và là host) giởi thiệu bác Z. bằng một thông tin khá vui. Cách đây 10 năm,  Goldstone và Yildrim đã công bố định lý giống như của bác Z, và báo NY Times đẫ đưa tin. Thậm chí họ đưa hai lần, một lần là công bố công trình, lần thứ hai là rút lại  những gì đã viết. Hiện nay NY cũng đã đang tin bác Z. một lần….hy vọng lần thứ hai sẽ là về vấn đề khác. (Bạn A.  này cũng là một nhân tài, tinh thông toán pháp, lại biết thổi kèn, múa võ, môn gì cũng tài, chỉ tội hơi hói trước tuổi một chút.)

Theo trang thông tin cá nhân, bác Zhang độ 53-54 tuổi, nhưng trông bác khá trẻ, tóc chưa bạc (hoặc nhuộm, vì đôi khi nó đen một cách đáng nghi). Tiếng Anh của bác vẫn mang trọng âm Tàu khá nặng, nhưng bác nói chậm và rõ, nên nghe cũng tốt. Mấy lị bài này chắc cũng nói khá nhiều lần rồi.

Về mặt cấu trúc mà nói, bài nói của bác rất khá, vì bác không sa đà vào việc show off cho các “chuyên gia”,  như một số lớn diễn giả thường làm. (Một điều tôi không thể hiểu  là tất cả các GS đều biết người nghe ở coll, phần lớn là sinh viên năm thứ nhất thứ hai,  nhưng đa số đều bắt đầu  bài giảng  bằng những khái niệm chỉ một số người trong ngành hẹp của họ hiểu,  chẳng hạn  “Symmetry protected topological states.”  Tât nhiên một số bác cũng lịch sự, và sẽ định nghĩa cái phrase nói trên bằng ba phrase khác còn khó nghe hơn. There is something really wrong with these guys.)

Bác Z. không bắt đầu bằng giả thiết số nguyên tố song sinh, mà bằng một giả thuyêt tổng quát hơn của Hardy và Littlewood.   Cho một tập số nguyên dương \{n_1, ..., n_k \} sao cho không có số nguyên tố nào luôn luôn chia hết cho  tích của k số  (n+n_i), với n chạy khắp tập số tự nhiên. Khi đó sẽ có vô hạn số n sao cho n+ n_i là số nguyên tố cho tất cả 1 \le i \le k. Giả thiết nguyên tố song sinh (NTSS)  là trường hợp k=2, n_1=0, n_2=1.

Bác Z, không chứng minh được NTSS, nhưng bác chứng minh được rằng với k = 3.5 \times 10^6 và với mọi tập n_i thoả mãn điều kiện chia hết ở trên, có vố số số n sao cho trong tập n+n_1, ..., n+n_k có ít nhất hai số nguyên tố. Từ đó suy ra có vô số cặp số nguyên tố với khoảng cách nhiều nhất là 70000000. (Các hằng số này được giảm đáng kể gần đây.)

Bác Z. bắt đầu bằng phương pháp của Goldstone, Pinz và Yildrim (GPY). Chọn f(n) là một hàm thực, và định nghĩa S_1 := \sum_{ X < n < 2X} f(n)^2 . S_2 được định nghĩa  gần như S_1,  với  f(n)^2 được nhân thêm với tổng \sum_i \Theta (n+n_i) .Ở đây hàm \Theta(n)=1 nếu n là nguyên tố, và 0  nếu n là hợp số. Cái tổng nhân thêm này là số các số nguyên tố trong tập n+n_i.

Mục đích của ta là chứng minh S_2 >S_1 nếu $X$ đủ lớn. Khi đó sẽ có ít nhất một tổng   \sum_i \Theta (n+n_i) có giá trị lớn hơn hoặc bằng 2, đồng nghĩa với việc tập n+n_i chứa ít nhất hai số nguyên tố. 

Phương pháp này nghe rất đơn giản, và, nghĩ ký, thì cũng rất phiêu lưu, vì sẽ có rất nhiều tổng bằng 0 và trong S_2 ta sẽ mất giả trị của f(n)^2 ở đây. Mấu chốt của vấn đề  là cách chọn f(n) hợp lý. GPY chọn

f(n )=  \sum_{d}  \log D/d \mu (d) ; d chay trong tập các factors của P(n) và có giá trị nhỏ hơn X^c. (Ở đây P(n) là tích các số n+n_i, \mu là hàm Mobius và c là một hằng số.)

Sau khi bạn khai triển  f(n)^2, ta có thể viết lại S_2 thành một cái tổng có dạng \sum \sum \sum \sum. Quan trọng nhất là cái tổng cuối cùng  có dạng \sum_{n = m (mod [d_1, d_2]), X < n < 2X } \Theta (n) ,với d':= [d_1,d_2] là bội số chung của d_1, d_2. Tổng này là số các số nguyên tố trong dãy cấp số cộng với modular d’  trong khoảng [X, 2X].

Mấu chốt ở đây là tương quan giữa hai số d'X. Nếu d' << X^{1/2} , ta có một số đánh giả có sẵn từ các công trình của Bombieri và Vinogradov. Nhưng khi d' >> X^{1/2} , bài toán trở nên cực khó và không có kết quả nào đánh kể (kể cả khi dúng GRH).  Hai trương hợp này phụ thuộc chủ yểu vào việc chọn hằng số c. Vì lý do kỹ thuật, bác Z. phải chọn c > 1/2, và điều này dẫn đến trường hợp khó d' >> X^{1/2} . Cách đây 10 năm, viên AIM (họp tại nhà kho của một của hàng điện tử ở Palo Alto) đã làm một hội thảo với rất nhiều cao nhân xem có cách nào vượt qua của ải này không. Câu trả lời rất khoát là “Không”.

Rất may bác Z. không tham gia cuộc họp (và bác cũng chẳng được mời). Chắc chắn lúc đó bác cũng không thể biết AIM họp ở nhà kho nào; cái này rât bí mật, chỉ người nào từng đến đây mới biết.  Nói cho hết nhẽ,  câu trả lời của các chuyên gia tại AIM là đúng, nhưng nó không có nghĩa là ta không thể đi đường vòng một tí.

Đường vòng của bác Z. là bác không thay đổi c, mà thay đổi định nghĩa của hàm f(n) tí ti. Thay bằng dùng tất cả các số d, bác chỉ dùng các số mà các ước nguyên tố của nó không quá lởn. Kỹ thuật này cũng đã được dùng nhiều lần ở trong số học, nhưng thật đáng ngạc nhiên là nó dùng được ở đây.   Trong cách chứng minh bác dùng một  phương pháp mạnh của Bombieri, Fridlander, Iwaniec, cộng với một số đánh giá classical của Deligne và nhiểu ý tưởng mới.  The rest is now history !!

Có vẻ như phương pháp của bác có thể ứng dụng vào một số bài toán khác. Bác có nhắc là hằng số 16 trong GPY có thể giảm xuống một chút (thế nào thì tớ không biết :=)). Nhưng mà xuống đến 2 thì bác có vẻ không tin tưởng lắm.

Buổi nói chuyện kết thúc trong bầu không khí vui vẻ và hữu nghị. Có cả ăn tối nữa, nhưng tớ phải về trông con.

Nếu ai thích nghịch số nguyên tố, thì còn vô cùng nhiều bài toán hấp dẫn, chẳng hạn như khảo sát các số nguyên tố gợi cảm (sexy primes) 

 

From → Khác

2 phản hồi
  1. Tikitaka permalink

    Rõ ràng là mấy cái số nguyên tố này không gợi cảm như anh Văn tưởng cho nên không thấy ai reply.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: