Đợi

Đợi có thể là đợi mua gạo, mua dầu (thời bao cấp), đợi người yêu, đợi vợ. Đợi cái gì cũng lâu, sốt cả ruột. Nhà toán học được mỗi một cái hơn đời là khi không có gì để làm có thể mang toán ra nghí, mặt ngây ngô trông không được tích sự gì (như một số nhân vật trong truyện Nam Cao) nhưng thời gian trôi nhanh hơn.

Hôm nay nói về toán của đợi. Rách việc, đợi lâu khắc đến lượt, thể nào chẳng mua đươc gạo. Nhưng toán này do các ông Tây chưa bao giờ phải xếp hàng mua gạo nghĩ ra, cũng nên xem thử.

Một mô hình các ông Tây hay dùng dựa trên ý tưởng sau. Về lý thuyết, gạo về lúc 8 giờ sáng để phục vụ đồng bào. Trên thực tế, nó sẽ về sau 8 giờ và vào lúc nào thì chỉ có trời (và các cô bán gạo) biết. (Trong một số trường hợp trời cũng không biết.) Giả thử 8 giờ là thời gian 0. Vào thời điểm , ông Tây giả sử là xác suất gạo về trong khoản thời gian tỷ lệ thuận với , hay chính xác , trong đó là một hằng số (tất nhiên ta phải giả sử xác suất này chỉ được tính khi gạo chưa về) và đủ nhỏ. Nói nôm na, trong một window càng dài, xác suất gạo về càng tăng.

Mô hình này không tệ lắm, và được ứng dụng nhiều. Bên Mỹ này không thấy xếp hàng mua gạo mấy khi, mô hình náy được dùng cho thời gian đợi của telephone, khi đien thoại còn ở thời kỳ sơ khai và AT&T còn là một công ty lớn nhất thế giới. Thời hoàng kim của Bell Labs, các nhà xác suất thống kê đóng một vai trò quan trọng trong phòng thí nghiệm này. Vị trí của nó giờ đây có lẽ đã được thay bởi Microsoft Research.

Điểm mấu chốt của mô hình trên là nó không phụ thuộc vào (các bác Tây không thích nói chuyện quá khứ !). Nếu bạn nghĩ đến hai trường hợp: 9 giờ gạo chưa về và 11 giờ gạo chưa về thì tại hai thời điểm 9 và 11 giờ, thời gian đơi thêm sẽ có phân bố như nhau. Gọi là xác suất bạn phải đợi ít nhất là một thời gian là . Nếu phải đợi , thì trước hết bạn phải đơi , sau đó đơi thêm . Bơi tính chất trên, ta có

Bạn có thể chứng minh (bài tập)

Đinh lý Đợi: Hoạc với mọi , hoặc với là một hằng số.

Vì định lý này, mô hình trên còn được goi là “exponential holding time model”. Dưới đây, bạn có thể thử dùng mô hình này để giải một bài toán cụ. thể. Giả sử bạn ra bưu điện gửi bưu phẩm. Bưu điện có ô cúa và phải xếp hàng. Khi có một ô cửa trống thì (dĩ nhiên) ngừoi đầu tiên trong hàng được vào ô của đó. Câu hỏi là khi bạn đến bưu điên thì sẽ có mấy người đứng trước bạn ?

Bài toán phát biếu như trên là bài toán từ ứng dụng mà ra. Để giải bài toán này, ta cần một model cụ the. Ta có thể giả sử thời gian giải quyết (đợi) ở mỗi cúa sổ là biến ngấu nhiên như mô hình trên với hằng số . Ngoài ra thời gian để có thêm một người xếp hàng (cũng theo mô hình đợi) phụ thuộc vào hằng số khác. Gọi lá xác suất có người tại thời gian , trong cả hàng và tại các cửa sổ. Tưởng tượng là thời điểm bạn đến đã tương đối muộn, cải ta muốn tính là . Bài toán này được nghiên cứu bởi Kolmogorov đầu những năm 1930.