Skip to content

Tổng Abel

Tháng Chín 3, 2010

Cấp ba tôi (và chắc nhiều bạn nữa ở đây) từng học công thức tổng Abel:

\sum_{i=1} ^n a_ib_i = \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_k -b_{k+1}) + A_n b_n
với A_k =a_1+ ...+ a_k.

Công thức này rất hay, và chứng minh không khó một khi bạn biết nó. Nhưng mà
gần đây tôi mới để ý ta có thể suy ra nó như thế nào.

Nếu bạn muốn tính tổng f(1) +...+f(n) ta co thể dùng xấp xỉ
\int_1^n f(x) d(x).

Trong trường hợp f(i) =a(i)b(i) ta có \int_1^n a(x) b(x) dx .
Nếu ta dùng công thức intergation by part, bạn có thể có A(x) b(x) - \int_1^n A(x) b'(x) với A(x)'= a(x) . Trong trường hơp đang có, tất nhiên ta chỉ có các số rời rạc mà không có hàm số nào, vậy tìm A(x) thế nào ? Suy nghĩ hợp lý là theo định lý mean theorem, ta có thể viết
F(x) - F(x-1) \approx F'(x). Vậy cách logic để chọn A(k) là viết A(k) =a_1+...+ a_k . Tương tự ta có
b'(k)= b_{k+1} - b_k . Điều này dẫn tới dạng của đẳng thức Abel ở trên. (Chú ý tôi bàn tới cách tìm ra công thức này,
tại sao ta lại nghĩ đến dạng đảng thức trên, chứ không phải là chừng minh.)

Bài tập: Dùng công thức Abel để tính tổng (asymptotically) cua các sổ nguyên tố từ 1 đến n.

From → Khác

3 phản hồi
  1. Lời giải sau đây có vẻ hơi “lừa đảo”🙂

    Chọn b_i = i, và a_i = 1 nếu i nguyên tố, và a_i=0 nếu i là hợp số. Như vậy A_k = \pi(k), tổng số số nguyên tố \leq k. Ta biết \pi(k) \approx k/\ln(k). Do đó
    , tổng các số nguyên tố từ 1 đến n bằng

    \sum_i a_ib_i \approx \frac{n^2}{\ln n} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{\ln k} = \Theta\left( \frac{n^2}{\ln n}\right)

  2. vanhavu permalink

    Hà hà….

  3. KHG permalink

    Chọn a_i = ib_i = \frac{1}{i} ta có

    n = \sum_{k=1}^{n-1}A_k\frac{1}{k(k+1)} + \frac{A_n}{n}.

    Hiển nhiên là A_k = 1 + \ldots + k > k+1. Do đó tổng trong phương trình trên lớn hơn 1 + 1/2 + … + 1/(n-1) which is asymptotically ln(n). Dẫn tới \frac{A_n}{n} < n - ln(n), và A_n < n^2 - nln(n).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: