Tổng Abel

Tháng Chín 3, 2010

Cấp ba tôi (và chắc nhiều bạn nữa ở đây) từng học công thức tổng Abel:

$\sum_{i=1} ^n a_ib_i = \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_k -b_{k+1}) + A_n b_n$
với $A_k =a_1+ ...+ a_k.$

Công thức này rất hay, và chứng minh không khó một khi bạn biết nó. Nhưng mà
gần đây tôi mới để ý ta có thể suy ra nó như thế nào.

Nếu bạn muốn tính tổng $f(1) +...+f(n)$ ta co thể dùng xấp xỉ
$\int_1^n f(x) d(x).$

Trong trường hợp $f(i) =a(i)b(i)$ ta có $\int_1^n a(x) b(x) dx .$
Nếu ta dùng công thức intergation by part, bạn có thể có $A(x) b(x) - \int_1^n A(x) b'(x)$ với $A(x)'= a(x) .$ Trong trường hơp đang có, tất nhiên ta chỉ có các số rời rạc mà không có hàm số nào, vậy tìm $A(x)$ thế nào ? Suy nghĩ hợp lý là theo định lý mean theorem, ta có thể viết
$F(x) - F(x-1) \approx F'(x).$ Vậy cách logic để chọn $A(k)$ là viết $A(k) =a_1+...+ a_k$ . Tương tự ta có
$b'(k)= b_{k+1} - b_k$ . Điều này dẫn tới dạng của đẳng thức Abel ở trên. (Chú ý tôi bàn tới cách tìm ra công thức này,
tại sao ta lại nghĩ đến dạng đảng thức trên, chứ không phải là chừng minh.)

Bài tập: Dùng công thức Abel để tính tổng (asymptotically) cua các sổ nguyên tố từ $1$ đến $n$ .

From → Chưa phân loại

3 bình luận

NQH permalink

Lời giải sau đây có vẻ hơi “lừa đảo” 🙂

Chọn $b_i = i$ , và $a_i = 1$ nếu $i$ nguyên tố, và $a_i=0$ nếu $i$ là hợp số. Như vậy $A_k = \pi(k)$ , tổng số số nguyên tố $\leq k$ . Ta biết $\pi(k) \approx k/\ln(k)$ . Do đó
, tổng các số nguyên tố từ $1$ đến $n$ bằng

$\sum_i a_ib_i \approx \frac{n^2}{\ln n} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{\ln k} = \Theta\left( \frac{n^2}{\ln n}\right)$

Trả lời
vanhavu permalink

Hà hà….

Trả lời
KHG permalink

Chọn $a_i = i$ và $b_i = \frac{1}{i}$ ta có

$n = \sum_{k=1}^{n-1}A_k\frac{1}{k(k+1)} + \frac{A_n}{n}$ .

Hiển nhiên là $A_k = 1 + \ldots + k > k+1$ . Do đó tổng trong phương trình trên lớn hơn 1 + 1/2 + … + 1/(n-1) which is asymptotically $ln(n)$ . Dẫn tới $\frac{A_n}{n} < n - ln(n)$ , và $A_n < n^2 - nln(n)$ .

Trả lời