Skip to content

Đố vui: Tiếp tục chơi xúc sắc

Tháng Sáu 4, 2010

Bạn KHG đã chơi giải xong bái xúc sắc lần trước. Bây giờ là bài khó hơn một chút:

Lần này ta cần làm hai xúc sắc mới. Hai xúc sắc có thể khác nhau, nhưng các số trên xúc sắc phải là sồ tự nhiên
(nguyên dương). Hỏi bạn có làm được không ?

Nói chính xác là cần tìm các sồ tự nhiên (có thể giống nhau) {a_1,…a_6}, {b_1, …b_6} sao cho
36 tổng a_i +b_j có giá trị từ 2 đến 12 và phân bố giống i+j.

From → Giải trí

12 phản hồi
  1. Nkd permalink

    Chắc là tương tự bài trước thôi. Bạn KHG giải nốt. Em phải chuẩn bị đi chơi mấy ngày đây. Chúc bà con cuối tuần dzui dzẻ.🙂

  2. Raccoon permalink

    Cho minh xin loi truoc la khong danh dau tieng Viet duoc va co mot so tu minh khong biet tieng Viet goi la gi. Minh co loi giai dap cho bai toan tren nhu sau:
    Dat 2 ham so F(x) = x^{a_1} + … + x^{a_6}, va G(x) = x^{b_1} + … + x^{b_6},

    Vay thi FG = x^2+2x^3+3x^4+…+ x^{12}
    = (x+x^2+…+x^6)^2
    = x^2(x+1)^2 (x^2-x+1)^2(x^2+x+1)^2 (vi F[x] la unique factorization domain), nen F,G phai la tich cua mot so irreducible factors nay.

    Goi A=x, B= x+1, C = x^2-x+1, va D = x^2+x+1 de viet ngan gon hon thanh FG = (ABCD)^2. Vi xuc xac co 6 mat nen F(1)=6 va G(1)=6. Ta lai co A(1)=1, B(1)=2, C(1)=1 va D(1)=3, nen it nhat BD phai la factor cua ca F va G, con A va C thi co the la factor cua F hay cua G. Dieu con lai can phai kiem tra do la nhung coefficients cua F va G phai la so duong, nhung cung khong co nhieu to hop lam de kiem tra.

    Minh chua kiem tra het tat ca cac to hop nhung it ra cung co mot cap xuc xac khac co cung xac xuat, do la:
    {1 3 4 5 6 8} va {1 2 2 3 3 4} (cap xuc xac nay hinh nhu co ten goi nhung ma minh quen mat roi).

    Minh nghi cach nay cung co the dung de tra loi cau hoi lan truoc, vi trong cach viet factorization tren, khong the nao co the viet thanh binh phuong cua mot ham so khac, nen khong co xuc xac nao co cung xac xuat.

    Thanks.

  3. Raccoon permalink

    Ah, trong tat ca cac to hop thi chi co cap xuc xac tren la co xac xuat giong nhu cap xuc xac thong thuong, va co tat ca cac so tren xuc xac la nguyen duong. Ten goi cua cap xuc xac nay la “Sicherman dice”.

    Thanks.

  4. Ban Raccoon giai dung roi. Ban co the dung argument nay, them mot buoc nua, de chung minh la cap xuc sac tren la duy nhat.

  5. KHG permalink

    Tôi không hiểu vì sao FG lại bằng x^2+2x^3+3x^4+…+ x^{12} mà không phải là một đa thức nào khác, chẳng hạn x^2 + x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 3x^6 + 3x^7 + 4x^8 + 4x^9 + 5x^10 + 5x^11 + 6x^12? Đề bài chỉ nói là các tổng có giá trị từ 2 đến 12 nhưng không nói tổng nào phải có xác suất nào.

  6. KHG permalink

    Hm, lời giải của bạn Raccoon không vấn đề gì vì chỉ muốn chỉ ra một cặp xúc sắc thỏa mãn yêu cầu. Câu hỏi tiếp theo là ngoài cặp xúc sắc thông thường và cặp Sicherman dice còn có cặp nào khác? Bài toán này có thể giải bằng computer bằng cách xem xét hết tất cả các đa thức bậc 12 với các hệ số như trên, giống như bạn Raccoon đã làm cho một trường hợp. Tôi nghĩ rất lâu nhưng không thấy có phương pháp nào hoàn toàn tốt hơn. Anh Văn có thể bật mí không?

  7. @KHG

    Bạn Raccoon muốn nói là FG =(x+….+x^6)^2 = [ x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2) ]^2. Viết lại ý của bạn Raccoon, ta có nhận xét:

    (1) Cả F và G đều chứa x, vì a_1=b_1=1.

    (2) Vì F(1)= G(1) =6, nên cả F và G đều chứa (1+x)(1+x+x^2).

    (3) Đến đây chỉ còn hai trường hợp: (a) Cả F va G chứa (1-x+x)^2, ta sẽ nhận được loại xúc sắc thông thường. (b) F chứa (1-x+x^2)^2, ta sẽ nhận được trường hợp thứ hai như trên.

  8. Raccoon permalink

    Minh nghi y cua KHG muon noi la: trong cach giai cua minh, minh dung gia thuyet la xac xuat cua a_i + b_j bang voi xac xuat cua i+j, trong khi de bai hien gio thi khong nhat thiet la nhu vay. Neu xac xuat cua a_i+b_j bang xac xuat cua l+k (va P(l+k) \neq P(i+j)) , va xac xuat cua a_l + b_k bang xac xuat cua i+j, thi probability distribution van khong thay doi, va co the co nhieu xuc xac hon.

  9. KHG permalink

    Cám ơn gs Văn và bạn Raccoon. Tôi hiểu lời giải của Raccoon, và đúng như bạn nói, tôi muốn biết là ngoài đa thư’c (x+ … + x^6)^2 còn đa thức p(x) = a_1x + … + a_12x^12 nào khác sao cho {a_1,…,a_12} = {1,1,…,5,5,6} (in any order) và p(x) = f(x)g(x) với f và g có hệ số không âm và f(1) = g(1) = 6.

    Đa số các đa thức p(x) như vậy sẽ không phân tích được (irreducible over Q), nhưng vẫn có vài trường hợp reducible. Tôi không biết cách nào tìm ra tất cả các đa thức reducible (ngoài cách dùng computer). Có thể reduce mod 2 or 3 nhưng vẫn có quá nhiều trường hợp.

  10. Raccoon permalink

    Hihi, that ra minh nghi la se khong co da thuc nao thoa man yeu cau ma ban KHG neu ra, nhung hien gio chung minh khong duoc (va mot nguoi ban khac lai bao la chac chan se ton tai mot da thuc nhu the, nen minh cung khong biet la intuition cua minh co dung hay khong).

  11. Raccoon permalink

    Hic, minh moi ngoi viet program xong, te ra khong nhung intuition cua minh sai, ma qua sai la dang khac. Co rat nhieu cap xuc xac co the co cung mot probability distribution neu tren. Vi du nhu cap xuc xac sau:
    { 1 2 5 5 7 9 } va {1 1 1 2 2 3}, se cho ra distribution tong so nhu sau:
    3 5 3 1 6 4 5 2 4 2 1
    Neu nhu chuong trinh chay khong nham thi co tat ca 230 cap xuc xac nhu vay. Hic.

  12. KHG permalink

    Cool. Cám ơn bạn. Lẽ ra mình nên viết chương trình như bạn thay vì lãng phí thời gian suy nghĩ🙂

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: