Skip to content

Sao laị tròn ? (nhân ngày Mother’s day)

Tháng Năm 9, 2010

Hàng ngày, ta gặp rất nhiều vật thể có dạng tròn. Phần lớn các hình tròn đếu rất dễ thương, hấp dẫn, chẳng hạn

(1) Hạt sương ban mai.

(2) Hạt ngọc trai.

(3) Bóng.

Chúng dễ thương vì chúng đối xứng, tròn trĩnh, mang lại cảm giác đáng tin cậy, xinh xắn và vui nhộn.

Nhưng, sao lại tròn ? Sao không là hình tứ phương hay hình chóp. Cái này có thể giải thích theo nhiều phong cách

(phong cách) Dân gian: Trời sinh ra thế.

(phong cách) Triết gia/nhà thơ: Hình tròn biểu hiện sự hoàn thiện, toàn thiện toàn mỹ.

(phong cách) Kinh Dịch/Kim Dung: Trong tròn có vuông, trong vuông có tròn.

(phong cách) Anh Tạ Biên Cương: Bóng không tròn đá thế nào được ? Thử đánh đầu quả bóng hình chóp xem, biết nhau ngay…

Còn các nhà khoa học nói gì ?

Phong cách của các nhà khoa học, nói chung, là gần với văn học dân gian, tức là “Trời sinh ra thế”, nhưng với
ngôn ngữ hiện đại hơn: “Đó là qui luật của tự nhiên !”

Về phương diện toán học, nhiều qui luật tự nhiên được giải thích với ngôn ngữ tối ưu hóa. Nói một cách rất nôm na,
vật chất ở một trạng thái nhất định là vì ở trạng thái đó một đại lượng nào đó đạt giá trị tối ưu. (Bạn có thể xem một ví dụ rất hay trong bài Cơ học lượng tử của anh Đàm Thanh Sơn. )

Vậy hình tròn, hay hình cầu nói chung, tối ưu cái gì ? Điều này chắc nhiều bạn đã biết:

Định lý (Isoperimetric theorem; IT): Trong các hình có cùng thể tích (trong không gian R^d), hình cầu có diện tích mặt nhỏ nhất.

Chẳng hạn hình tròn là hình có chu vi nhỏ nhất trong các hình phẳng có cùng diện tích. Diện tích mặt nhỏ nhất sẽ tối giản áp suất lên vật thể (chẳng hạn trong trường hợp hạt sương).

IT có nhiều cách chứng minh. Tôi sẽ giới thiệu cách chứng minh dùng định lý Brunn-Minkowski. Định lý B-M là một trong nhưng định lý cơ bản nhất trong hình học giải tích, và bản thân nó cũng có nhiều cách chứng minh tuyệt vời.

Để trình bày định lý BM, ta cần một định nghĩa. Định nghĩa này là tổng Mincowsky, được dùng rất nhiều trong hình học giảt tỉch, và gần đây, trong số học tổ hợp. Tổng này cho phép ta cộng hai tập hợp:

A+B := \{ a+b| a \in A, b \in B \} .

Ví dụ:

\{1,3, 6\} + \{0,1\}= \{1,2, 3,4, 6,7 \}; [0,1]+ [0,1]= [0,2]; [0,1]^2 +[0,2]^2 =[0,3]^2 .

Định lý Brunn-Minkowski:

vol (A+B)^{1/d} \ge vol (A)^{1/d} + vol (B) ^{1/d} .

vol A ký hiệu thể tích của A. Trong bài này, ta giả sử các tập hợp là compact (nếu bạn không biết định nghĩa thì cũng không cần quan tâm nhiều, nó là giả sử mang tính kỹ thuật). Định lý BM được chứng minh bởi Brunn (1887) cho một trường hợp đặc biệt năm 1887, và Mincowsky tổng quát năm 1896. Các nghiên cứu liên quan đến định lý này được phát triển liên tục trong vòng hơn 100 năm qua, cho thấy sự quan trọng của nó. Bạn có thể tham khảo một bài báo rất hay của R. Gardner: THE BRUNN-MINKOWSKI INEQUALITY, viết năm 2001.

Để hiểu và chứng minh IT, trước hết ta cần thấy mối liên quan giữa diện tích mặt và thể tích của một vật thể. Cho đơn giản, bạn
tưởng tượng củ khoai. Hồi bé, mẹ dạy gọt khoai, thường bảo tôi phải cạo vỏ hơn là gọt. Củ khoai bé tí, nếu gọt sâu vào, thì chẳng còn gì. (Đây là chuyện của những năm 70-80 rồi;nếu bạn còn trẻ, có thể không biết đâu.)

Gọi củ khoai sau khi gọt vỏ là A. Nếu độ dày vỏ khoai là r, thì lượng vỏ khoai gọt ra xấp xỉ r \times area (\partial  A), trong đó area (\partial  A) là diện tích bề mặt của khoai. Củ khoai trước khi gọt vỏ có thể biểu diễn bằng A + S(r), trong do S(r) là hình cầu bán kính r. Dùng đẳng thức đáng nhớ: Khoai vào nồi = Khoai lúc đầu- Vỏ khoai và cho r tiến đến 0, ta có công thức quan trọng sau:

area (\partial  A) =  \lim _{r \rightarrow 0} \frac{vol (A+ S(r)) - vol (A) }{r}.

Ta thử áp dụng công thức này cho chính hình cầu xem sao. Như mọi người đều biết, thể tích hình cầu tỷ lệ thuận với bán kính mũ d, S(r) = C(d)  r^d, trong do C(d) là hằng số phụ thuộc vào d (bạn có thể tính hằng số này một cách cụ thể, chẳng hạn C(2)= \pi, nhưng giá trị thật của nó không có vai trò quan trọng ở đây). Theo công thức trên, ta có:

area (\partial S(r_0))=  \lim _{r \rightarrow 0} C_d  \frac{ (r_0+r  )^d - r_0^d}{r}= C_d d r_0^{d-1}.

Nếu S(r_0) có thể tích C_d r_0^d= 1, thì diện tích mặt của nó là: C_d d r_0^{d-1}=  \frac{d}{r_0} .

Bây giờ ta có thể chứng minh IT. Lấy một tập A thể tích vol (A)=1, ta cần chứng minh area (\partial A) \ge \frac{d}{r_0}.

Theo định lý BM và khai triển mũ (x+y)^d= x^d + d x^{d-1} y +..., ta có

area( \partial A) = \lim _{r \rightarrow 0} \frac{vol (A+ S(r)  ) - vol (A) }{r}

\ge  \lim_{r\rightarrow 0} \frac{d vol (A)^{1-1/d} vol S(r)^{1/d} }{r}.

vol A=1\frac{ vol (S(r)) ^{1/d} }{r} không phụ thuộc vào r,
\frac{d vol (A)^{1-1/d} vol S(r)^{1/d} }{r} là một hằng số. Nếu ta lấy r=r_0 nó trở thành \frac{d}{r_0} . QED.

Trong phần còn lại của blog, tôi đưa ra một chứng minh rất gọn của đjinh lý (theo Hadwiger and Ohmann), gần như chỉ dùng kiến thức toán cấp ba.

(1) Bước thứ nhất là một ý tưởng rất cơ bản trong giải tích. Nếu ta muốn chứng minh a \ge b, ta có thể tìm hai dãy a_n, b_n sao cho a_n \ge b_na_n \rightarrow a, b_n \rightarrow b_n.
Lợi thế ở đây là các số a_n, b_n do ta tự chọn, nên ta có thể có thêm những tính chất đẹp mà ab không có.

Trong trường hợp A là một tập bẩt kỳ, ta có thể xấp xí nó bắng union của một dãy các hình hộp (có cạnh song song với các trục tọa độ) không giao nhau (như tổng Rieman khi tính tích phân), A_1 \cup A_2 \cup...\cup A_n \cup.... Nếu a là thể tích của A, thì a_n là thể tich của A_1 \cup ...\cup A_n. Đây cũng là một ý tưởng rất cơ bản khác trong giải tích.

Bây giờ ta sẽ chỉ cần chứnh minh định lý BM trong trường hợp cả AB là (dísjoint) union của một số hữu hạn các hình hộp. Gọi tổng số các hình hộp trong cả Abm. Ta qui nạp theo m.

(2) Trường hợp đầu tiên là m=2 (A là một hình hộp và B là một hình hộp). Gọi x_i, i=1,...,d là độ dài các cạnh của Ay_i, i=1,...,d là độ dài các cạnh của B; A+B sẽ là hình hộp có cạnh dài x_i +y_i. Định lý BM, trong trường hợp này, tương đương với bất đẳng thức

1 \ge (\frac{x_1}{x_1+y_1}  \dots \frac{x_d}{x_d+y_d} )^{1/d} +  (\frac{y_1}{x_1+y_1}  \dots  \frac{y_d}{x_d+y_d} )^{1/d} , và là một hệ quả của bất đẳng thức tổng-tích (AG inequality).

(3) Giả sủ ta đã giải quyết tất cả m \le k. Trong trường hợp k+1 \ge 3, ta có thể giả sứ A\ge 2
hình hộp. Để ý rằng nội dung bài toán không thay đổi nếu ta tịnh tiến AB. Ta sẽ tịnh tiến A sao cho có một mặt phẳng tọa độ H (chẳng hạn z_d=0) chứa ít nhất một hình hộp (của A) ở phía trên và it nhất một hình hộp phía dưới nó. Gọi hai phần này là A_{+}A_{-}. Để ý rằng số hình hộp trong mỗi tập này lớn hơn 0 nhưng Ít hơn trong A. Đây là cơ sở để ta áp dụng phép qui nạp.

(4) Gọi B_{+}B_{-} là phần của B ở trên và dưới H. Ta có

vol (A+B) \ge vol (A_{+} + B_{+}) + vol (A_{-}  + B_{-} ).

Theo giả thiết qui nạp,

vol (A_{+} + B_{+})  \ge (vol (A_{+})^{1/d} + vol (B_{+})^{1/d})^d , do đó

vol (A+B) \ge  (vol (A_{+})^{1/d} + vol (B_{+})^{1/d})^d +  (vol (A_{-})^{1/d} + vol (B_{-})^{1/d})^d . (*)

(5) Vế bên phải xem ra khó nhai. Nhưng ta còn một vũ khí chưa dùng tới, đó là ta có thể tịnh tiến B để thay đổi tỷ lệ vol (B_{-})/ vol (B_{+}) . Ta sẽ chọn một phép tịnh tiến sao cho

vol (B_{-})/ vol (B_{+})  = vol (A_{-}) / vol (A_{+} ) := \alpha .

Khi đó vế phải của (*) trở thành

(vol (A_{+})^{1/d} + vol (B_{+})^{1/d})^d  (1+ \alpha) = ( vol (A)^{1/d} + vol (B)^{1/d}) ^d. \,\,\, QED.

Bài tập: Khi nào đẳng thức xảy ra trong định lý BM ?

From → Khoa hoc

17 phản hồi
  1. Cả hai chứng minh đều cute. Cảm ơn bác. Viết “MinCowski” là vô tình hay cố ý vậy? Hình như bất đẳng thức AG tiếng Việt gọi là bất đẳng thức Cauchy tổng quát. Suy ra BĐT trong chứng minh từ BĐT Holder thì trực tiếp hơn.

  2. KHG permalink

    Chứng minh này hay quá, không biết có phải là cách đơn giản nhất để chưng minh IT?

    Nếu hôm qua (Mother’s Day) tôi hỏi vợ “Sao lại tròn” không biết sẽ ra sao? Có thể là tôi sẽ có nhiều thời gian ở một mình để nghĩ về Brunn-Minskowki🙂

  3. Leobio permalink

    Hoảng quá. Bác Văn bảo dùng kiến thức Toán cấp III chứng minh mà em chả biết mô tê gì.
    Tìm google thấy cái này hay hay ạ:
    http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml

  4. Nhung permalink

    topology chu ko phai la topo,hinh cau la hinh chiem duoc nhieu the thich nhat voi 1 dien tich be mat bao phu la nho nhat,hinh cau la 1 hinh da huong,luon co tinh on dinh cao,xet ve mi hoc no la su hoan hao

  5. tieuhoctro permalink

    Thưa thầy, ông Minkowski trong bài của thầy có phải ông Herman Minkowski dính dáng đến thuyết tương đối không ạ ?

  6. Nkd permalink

    Cố gắng đọc thì cũng hiểu được đám chứng minh của anh. Nhưng em vẫn không hiểu tròn thì có liên quan gì đến Mother’s day.😦

  7. Đấy là nhân đang gọt khoai :=))

  8. Leobio permalink

    Thế mà em tưởng do từ câu: “mẹ tròn, con vuông”

  9. Bác Văn chơi quả “Khoai vào nồi = Khoai lúc đầu- Vỏ khoai” thì đến Minkowski cũng phải tặc lưỡi.

  10. Hì hì…Nhưng mà đến lúc biết cạo vỏ thay cho gọt vỏ (cho r đến 0) là cũng phải gọt tương đối nhiều khoai rồi.

  11. Sinh vien permalink

    Em chào thầy. Thưa thầy, em có thể đăng bài này lên tờ báo sinh viên của khoa em được không ạ ?

    Sinh viên khoa toán trường đại học khoa học tự nhiên tp HCM.

  12. Sinh vien permalink

    Em cảm ơn thầy.🙂

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: